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  摘 要 锂离子电池荷电状态(SOC)的估计对于保障新能源电动汽车稳定、安全地运行至关重要，而高精度的电池模型是SOC估计的基础，但常用的锂离子电池阻容(RC)模型中，存在高阶模型结构复杂、低阶模型近似程度低，以及电池状态突变导致SOC难以精确估计的问题。本文提出一种基于分数微积分理论的锂离子电池分数阶可变阻容(FVOM)模型，通过利用赤池信息量(AIC)准则识别不同SOC时分数阶阻容模型的最优阶数，构建适应不同SOC时的时变阻容电池模型；同时引入衰减因子构建强跟踪分数阶扩展卡尔曼滤波(STF-FEKF)算法，实现电池荷电状态估计，克服历史数据对当前估计值的影响。基于城市道路循环工况(UDDS)等三种不同工况对分数阶扩展卡尔曼滤波(FEKF)算法进行验证。结果表明，在脉冲放电工况下，模型的平均绝对误差(AAE)由0.0197 V降为0.0160 V，其电压误差均小于50 mV，预测精度相对提高了18.8%；同时，改进后的方法使AAE和均方根误差(RMSE)均有所减小，不仅验证了所提方法的有效性，也为提高锂离子电池SOC状态估计精度和计算效率提供了新的思路。

  关键词 赤池信息量准则；可变阻容模型；分数阶；强跟踪

  电池荷电状态是衡量电池剩余电量的指标，准确估计SOC不仅能有效延长电池的使用寿命和性能，还能避免过度充电或过度放电，从而确保电池系统的稳定运行。在电动汽车管理系统中，SOC的精确估计是制定有效策略的关键因素，直接影响电动汽车的整体性能。因此，对SOC估计展开深入研究具有重要意义，对电动车辆的发展和应用框架起着至关重要的作用。

  精确的锂离子电池模型是确保SOC准确估计的基础。等效电路模型(ECM)因其结构简单、易于工程实现，在实践中得到广泛应用。为更准确地描述电池的外部特性，文献[2]提出一种将动态组件集成于电路中的方法，并开发出具有RC模块的Thevenin模型，满足了对电路进行简化分析、方便建模的需求。通过调整n阶RC等效电路模型中的并联RC环节数量，可获得各种阶数的模型，如Rint模型(n=0)、Thevenin模型(n=1)和DP模型(n=2)。一般而言，模型的阶数(并联RC环节的数目)越高，模拟的端电压越准确，但这同时也带来了计算成本增加和参数辨识难度提高的问题。正如文献[4]中强调的，模型的准确性与其参数、SOC等因素密切相关，因此仅仅盲目添加组件不一定能显著提高模型准确性。在实际应用中，往往需要在模型精度和计算成本之间寻求合理的平衡。

  随着对ECM的深入研究，越来越多的学者开始采用分数阶模型来描述电池的动态响应，文献[5]的研究发现，分数阶模型能够以更少的元件实现与多阶RC模型相当的精度，从而更准确地捕捉电池内部的离子扩散过程。文献[6]则结合了分数微积分理论，提出简化的分数阶一阶模型(FOM-1RC)，旨在更精确地描述电池电荷转移过程，并成功提高了模型的准确性。此外，文献[7]通过分数阶可变阶等效电路模型(FVO-ECM)，深入剖析了锂电池的非线性电压-电流(U-I)特性，并提出适用于在线SOC估计的有效方法。与此同时，卡尔曼滤波算法的应用也逐步从整数阶过渡到分数阶，以更好地适应电池系统的动态特性。文献[8]基于FOM-1RC模型，通过比较不同阶次的效果来确定最佳的分数阶次，并利用自适应分数阶扩展卡尔曼滤波来估计电池SOC。文献[9]则建立了分数阶二阶模型(FOM-2RC)，并采用改进的自适应遗传算法进行辨识参数，结合自适应分数阶扩展卡尔曼滤波进行SOC估计，验证了其方法的有效性和精确性，然而，该研究仅在UDDS工况下进行验证，难以证明其普遍适用性。文献[10]采用自适应遗传算法对FOM-2RC模型进行参数辨识，并使用了基于施密特正交变换思想的无迹卡尔曼滤波进行SOC估计，提高了系统鲁棒性。但该模型由于复杂度较高，相应的计算量也较大。未来研究还需进一步探讨如何在保证模型精度的同时，降低计算成本，提高参数辨识的效率。

  尽管国内外学者对电池SOC估计进行了深入的研究，但现有的方法往往难以兼顾高阶模型结构复杂和低阶模型近似程度低的问题。因此，SOC计算效率和计算精度仍有待进一步研究。针对这一问题，本文引入分数阶建模思想，提出一种兼顾实用性与准确性的锂电池FVOM模型。考虑到电池内部电化学反应引起的非线性特性，采用AIC准则识别不同SOC下最优的分数阶阻容模型的RC阶数。同时，通过将模型在不同SOC值下进行分段处理，以提高模型计算效率。此外，为进一步提高SOC估计的精度，引入衰减因子，提出STF-FEKF算法估计电池SOC。最后，通过实验验证了该方法的可行性。

  1 锂离子电池分数阶可变阻容模型

  根据徐鹏跃等人的研究，FOM-1RC模型能够准确描述电池的动态电压响应，本文在FOM-1RC模型的基础上，进一步引入可变阶(n=1, 2)的RC模块，从而构建分数阶变阶阻容模型，具体结构如图1所示。

图1 FVOM模型示意图

  该模型由运行电路和U-I特性电路两部分组成。在模型中，UOCV代表开路电压，是SOC的函数；U表示电池端电压，而I则代表电池充电/放电电流。在电路结构中，R0、R1和R2分别代表欧姆电阻、电化学极化电阻和浓差极化电阻。此外，CPE1表示电化学极化电容，由C1表示；CPE2则表示浓度极化电容，由C2表示。

  该模型受开关S的控制，当开关S闭合时，电路呈现FOM-1RC模型的特征；而当开关S断开时，则呈现FOM-2RC模型的特征。基于基尔霍夫定律，可以推导出FOM-2RC电路的数学模型，具体表达如式(1)所示：

  2 模型阶数及参数辨识

  2.1　AIC准则辨识阶数

  RC阶数对于模型的复杂性和预测精度至关重要。AIC准则具备从多个竞争模型中鉴别出最优模型的能力，因此，利用AIC准则优化RC模型的阶数，以确保在保持模型精度的同时，尽量降低模型的复杂性。AIC准则的一般表达形式为：

  根据式(8)便可计算得出FOM-1RC、FOM-2RC模型对应的AIC值，如图2所示。

图2 分数阶各阶RC模型对应的AIC值

  由AIC准则中的“吝啬原则”可知：AIC值能平衡模型的复杂度和精度，该值最小的模型为最佳模型。图2中x轴为SOC，y轴为AIC值，两种模型在SOC<0.1和SOC>0.9时比0.1<SOC<0.9时具有较大的AIC值。在SOC<0.1和SOC>0.9的区间，为保证模型具有较高的精度，选择FOM-2RC模型；在0.1<SOC<0.9的区间，两种模型的AIC值均较小，为平衡准确性和计算效率，选择计算量较小但拟合效果仍然良好的FOM-1RC模型。

  2.2　模型验证

  为验证FVOM模型的有效性和可行性，以18650型锂电池为研究对象，用新威公司CT-4008Tn-5V6A-S1系列的设备进行实验。所有实验均在恒温25 ℃下进行，参考《电动汽车电池实验手册》，对电池进行脉冲放电实验：首先将电池充满电，使之充分静置直到电池内部达到平衡状态，此时电池SOC=1；接着进行恒流脉冲放电测试，设置电池以1C的倍率脉冲放电，使SOC下降0.1；再静置2小时得到稳定状态下的开路电压(OCV)，重复以上步骤，直至电池电压降至截止电压时停止实验。从而得到OCV-SOC的对应关系曲线，如图3所示。

图3 OCV-SOC关系曲线

  恒流放电结束，端电压由于电阻特性而突变上升，可计算得到其欧姆内阻：

  基于UDDS循环工况模拟出的端电压及其误差结果分别如图4、5所示。UDDS循环工况下的负载电流变化较为剧烈，由图4可知，FVOM模型对端电压的模拟结果较FOM-1RC模型更接近实际值；图5结果显示，变阶模型的端电压绝对误差保持在0.05 V以内，整体满足精度要求。

图4 UDDS工况下模型端电压对比

图5 UDDS工况下模型端电压误差对比

  对脉冲放电实验数据进行精度验证，得到的端电压估计结果以及相应的误差分别如图6、7所示。图6结果显示，FVOM和FOM-1RC模型均能够较好地拟合端电压，但最大绝对误差分别为0.0355 V和0.0490 V，因此，FVOM模型拟合精度更好。由图7可知：电池处于放电状态时，尤其当SOC大于0.9时，FVOM模型与实测电压吻合程度更高。进一步的计算结果表明，模型的AAE由0.0197 V降至0.0160 V，预测精度相对提高了18.8%，使模型预测值与实际值的平均差异有所减小。

图6 脉冲放电工况下模型端电压对比

图7 脉冲放电工况下模型端电压误差对比

  3 SOC估计

  3.1　基于STF-FEKF的电池SOC估计

  3.2　实验验证与分析

  本文假设FEKF和STF-FEKF估计的SOC初值为0.8，基于建立的FVOM模型在UDDS、NEDC、EUDC三种工况下进行SOC估计。从图8(b)、图9(b)和图10(b)可知，STF-FEKF和FEKF算法对于初始值的要求并不严格，均能快速降低初始误差，实现短时间内对SOC参考值的有效追踪。此外，当估计值收敛稳定后，STF-FEKF算法的结果更接近SOC参考值，相较之下，FEKF算法在UDDS、NEDC和EUDC工况下的峰值误差分别为0.020、0.027和0.032，而STF-FEKF算法的误差范围基本维持在0.020以内。因此，改进后的算法能更准确地估计电池SOC。

图8 UDDS工况下的SOC估计

图9 NEDC工况下的SOC估计

图10 EUDC工况下的SOC估计

  在相同SOC初值下，三种不同工况进行的误差比较，如表1所示。改进后的算法在三种工况下均显著降低了AAE和RMSE。这是因为引入的衰减因子能动态调整状态协方差矩阵的大小，从而使得状态预测和更新过程更好地适应电池系统中的动态变化。在FEKF中引入衰减因子使SOC估计的AAE降低了0.03~0.06，RMSE降低了0.19%~0.26%，有效提高了估计的准确性。

表1 不同工况下各算法SOC误差对比

  4 结 论

  针对锂离子电池阻容高阶模型结构复杂，低阶模型近似程度低的问题，本文利用AIC准则辨识出不同SOC时的最优阶数，建立了FVOM电池模型，兼顾了模型的准确性与实用性。在此基础上，提出了基于时变衰减因子的STF-FEKF算法，用于估计电池SOC。通过实验验证，得出以下结论：

  （1）相较于FOM-1RC模型，FVOM模型在描述锂电池的动态特性方面表现出更高的精度。在脉冲放电工况下，平均误差减小了0.0037 V，最大绝对误差减小了0.014 V，验证了FVOM模型的精确性，并有效克服了低阶模型精度不足与高阶模型结构复杂的矛盾，具有较高的实用性。

  （2）在FVOM模型的基础上，采用STF-FEKF算法对三种不同工况下的SOC进行估计，并与常规FEKF算法进行对比。实验结果表明，STF-FEKF算法具有更高的精度和鲁棒性。此外，将STF-FEKF算法与FVOM模型相结合，能进一步提高锂电池SOC估计的精度和稳定性，验证了本方法的可靠性。